Лодха представил свое решение на симпозиуме по геометрической и когомологической теории групп Лондонского математического общества в августе и отправил работу в журнал. «Люди были очень взволнованы этим», — сказал Лодха. «[Решение] естественно и достаточно убедительно, чтобы учиться само по себе».Лодха работает в области геометрической теории групп. Группа — это математическая конструкция, которая описывает понятие симметрии объекта, будь то физический объект или теоретическое пространство. Например, многоугольник имеет вращательную и отражательную симметрии, все из которых вместе с операцией композиции образуют так называемую конечную группу, поскольку многоугольник можно описать как конечную последовательность операций, отражающих его симметрии.
Формально группу можно описать как слова в алфавите вместе с набором правил, которые называются «отношениями». Теоретики групп, сказал Лодха, подобны биологам, которые классифицируют виды; математики пытаются классифицировать группы, у которых есть свойства A, B или C — но есть ли такая, у которой есть A, но нет C?Вдохновение для работы Лодхи зародилось в начале 20 века, когда математики впервые доказали, что шар, существующий в трехмерном пространстве, можно разрезать на конечное число частей — «как разорвать лист бумаги, не растягивая и не сжимая, "Лодха объяснил — и его можно собрать, как головоломку, в два шара, каждый размером с исходный шар. Это известно как парадокс Банаха-Тарского.
Фон Нейман, изучая этот парадокс, был первым, кто описал его причину: он приписал его не геометрии трехмерного пространства, а алгебраическим свойствам симметрий, присущих сфере. Он был первым, кто выделил это свойство, которое сегодня математики называют «непостоянством».фон Нейман далее заметил, что если группа содержит свободные группы, то есть группы с конечным алфавитом и без правил, то она должна быть неаменабельной. Он задал вопрос, верно ли обратное — существуют ли группы, которые не содержат свободных групп, а также не поддаются изменению?
Проблема, впоследствии популяризированная М. Дэй подождал еще 40 лет, прежде чем математик Александр Ольшанский расколол его, хотя у группы Ольшанского был бесконечный набор правил.Прошло еще два десятилетия, прежде чем Ольшанский и Марк Сапир предложили другое решение проблемы фон Неймана-Дея. На этот раз их пример руководствовался конечным, но большим набором правил — около 10 ^ 200.
Также отсутствовала естественная геометрическая модель. Итак, математики исследовали группу с конечным набором правил, которая не поддается изменению и не содержит свободных групп.Впервые Лодха описывает группу, имеющую только девять правил, естественную геометрическую модель, не поддающуюся изменению и не содержащую свободных групп.По словам Лодхи, успехи в математике почти всегда постепенные и основываются на предыдущих работах.
Чтобы завершить эту работу, среди его наиболее ценных идей была одна, впервые описанная покойным Биллом Терстоном, медалистом Филдса и профессором математики Джейкобом Гулдом Шурманом из Корнелла, который включал способ представления группы в ином свете, как «модель непрерывных дробей». . "Работа Лодхи также во многом основывается на работе Николя Моно, который построил геометрически ориентированный, но не имеющий окончательного представления контрпример к проблеме фон Неймана-Дея. Вклад Лодхи и Мура заключался в том, чтобы изолировать конечно представленную подгруппу всего с девятью отношениями из примера Моно.
Дальнейшая работа над группой, у которой еще нет названия, могла бы сделать решение проблемы фон Неймана-Дея еще более сильным: путем выделения более сильных условий конечности для доказательства того, что группа имеет конечное число правил.Исследование было поддержано Национальным научным фондом.